鉛筆の芯。どれだけ使ってる? ~答え

pencil 鉛筆。答え

「鉛筆」「芯」「使用率」「計算」

鉛筆の芯。どれだけ使ってる? 

鉛筆ってすりへったら削って使うけど、じっさいはどれだけ使ってるんでしょう? 

さっちゃん
いきなり、ここに来ちゃった人は答えを見るまえに、問題を見てね!

問題はこちら。鉛筆の芯。どれだけ使ってる? ~計算してみよう!

計算してみよう! 

  1. 鉛筆 (芯) の長さ。17cm
  2. 芯の太さ。2mm
  3. 1/4すりへったら、削る。
  4. 残りが7cmまで使ったら終わりにします。つまり、じっさいに使うのは10cm
  5. 円周率は3.14とします。

何%使ってるか? 

  1. 元の芯の体積を求めます。
  2. じっさいに使ってる部分の体積を求めます。
  3. ② ÷ ① × 100 で「%」を求めます。 (小数点以下四捨五入) 
  4. じっさいに使う長さを、最初の長さで割ります。

💡 ヒント

  1. 円錐の体積の求めかたが必要です! 
  2. 割合 (%) を求めるだけなら、じつは長さと太さは関係ありません! 
pencil 鉛筆。挿絵

※ 芯の絵はイメージで正確なものではありません。

答え

pencil 鉛筆。挿絵2

割合 (%) をもとめる

まず1、2は飛ばして、3の割合だけ求めてみましょう。
なぜなら、このほうが簡単だからです。

円錐の体積

円錐の体積 = 円柱の体積 ÷ 3

上のさし絵は鉛筆の芯だけを書いてます。
灰色の部分も芯です。

もし鉛筆を削らないですべて使えば、灰色の円柱の部分をすべて使うことになります。
上の図ではもう削った絵を書いているけど、削る前は「円柱」です。

「1」「1/4 (4分の1) 」と書いてあるのは、あくまで長さの比で、じっさいの寸法ではありません。

相似の三角形なので、長さが1/4なら、太さ (直径、半径) も1/4になります。

長さ (円錐の高さ) を「h」
太さ (半径) を「r」
円周率を「π」
円柱の体積 (もともとの鉛筆の芯) を「V」
大きな円錐の体積を「V1
小さな円錐4コ分の体積を「V2」とします。

円柱の体積Vは、「円の底面積×高さ」なので

$$V={ hπr^{2}}$$

大きな円錐の体積V1は、「円柱の体積 ÷ 3」なので

$$V_1={ hπr^{2} \over 3}$$

さらに「1」の長さの円錐のところを見ると、長さ「1/4」、半径「1/4」の円錐が4コになっているのがわかります。

なので、ちっちゃい円錐4コ分の体積V2は、

$$V_2={ 4hπr^{2} \over 4\times3\times4^{2}}$$

長さのほうは、1/4のものが4コあるので、通分して「1」になります。

$$V_2={ hπr^{2} \over3\times4^{2}}$$

もう見てわかると思うけど、ちっちゃい円錐の体積は、元の鉛筆の芯 (円柱) に対して

$$V_2 \div V $$

つまり

$$ { hπr^{2} \over3\times4^{2}} \div {hπr^{2} } $$

$${hπr^{2}} は消えてしまうので、残りは$$

$$ { 1 \over3\times4^{2}} だけ! $$

さっちゃん
おおっ! 代数がぜんぶ消えた! 長さ (高さ) も半径も計算する必要ないってことなのね! それから「円周率」も関係ない!

ひげおじさん
そうなんじゃ! 大事なことは、円錐の体積が円柱の「1/3」ということと、長さが「1/4」になると、半径も「1/4」。半径が「1/4」になると、面積、ひいては体積も「1/4」×「1/4」の「1/16」になるということなんじゃ!

無次元数 (むじげんすう) 

「体積」÷「体積」のような「比」は「単位」がなくなってしまいます。
これを「無次元数」といいます。

無次元数についてはこちら。円周率は3?

分母を計算するとこうなります。

$$ { 1 \over48 } ≒ { 1 \over50 } = 0.02$$

2%」しか使ってないことになります! 

さっちゃん
もったいない! それなら芯をシャーペンみたいに細くすればいいのに!

ひげおじさん
そうするとどうなると思う?

さっちゃん
芯がすぐ折れる!

ひげおじさん
そのとおり! だから、どうせ削ってしまうんだけどあれより細くはできないんだね(^^)

クマ
木の部分なんかぜんぶ削っちゃうんだよね(^^)

さらに

じっさいには鉛筆を端から端まで使うことはできません。

17cmの鉛筆を10cmまで使って、残りの7cmは捨てるとすると、
使うのは

$$\frac{10}{17}≒{0.6} (60%) $$

最終的には、0.02 × 0.6 = 0.012

1%」しか使ってません=^^=

これは長さにすると、

17cm × 0.01 ≒ 0.17 cm = 2 mm になります! 

なので、おじさんは「鉛筆サック (ホルダー) 」を使ってここまで使い切ります。

鉛筆。無地

さっちゃん
おお~っ! そこまでするか! (^^)

鉛筆サック

さっちゃん
ところで1と2の計算はどうなったの?

ひげおじさん
ああ、忘れとった。さっきの代数のところに数字を入れて計算してみて。どうせ最後は通分して消えてしまうけど(^^)

さっちゃん
確信犯ね!

計算問題~一覧。身の回りの数学はこちら

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